Квадратный корень: основные понятия, свойства и примеры

Квадратный корень⁚ основные понятия

В математике понятие квадратного корня тесно связано с операцией возведения числа в квадрат.​ Квадратный корень из числа a – это число, которое при возведении в квадрат даёт a.

Определение и обозначение

Квадратный корень из числа a – это число, которое при возведении в квадрат даёт a.​

Например⁚

• Квадратный корень из 9 равен 3٫ потому что 3 * 3 = 9
• Квадратный корень из 16 равен 4, потому что 4 * 4 = 16

Важно отметить, что у каждого положительного числа есть два квадратных корня⁚ один положительный и один отрицательный.​ Например, как 4 * 4 = 16, так и (-4) * (-4) = 16.​

Для обозначения квадратного корня используется символ √, называемый знаком радикала.​ Число, из которого извлекается корень, называется подкоренным выражением и записывается под знаком радикала.

Например⁚

• √9 = 3 (читается как «квадратный корень из 9 равен 3»)
• √16 = 4 (читается как «квадратный корень из 16 равен 4»)

Для обозначения отрицательного квадратного корня используется знак «минус» перед знаком радикала.​

Например⁚

• -√9 = -3 (читается как «отрицательный квадратный корень из 9 равен -3»)
• -√16 = -4 (читается как «отрицательный квадратный корень из 16 равен -4»)

Квадратный корень из нуля равен нулю⁚ √0 = 0.​

Квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом.​ Такие корни изучаются в разделе математики, называемом комплексными числами.​

Понимание определения и обозначения квадратного корня является основополагающим для дальнейшего изучения его свойств и применения в различных областях математики.​

Арифметический квадратный корень

Как мы уже знаем, у каждого положительного числа существует два квадратных корня – один положительный и один отрицательный.​ Например, квадратными корнями из числа 9 являются 3 и -3, так как и 3², и (-3)² равны 9.​ Такая двойственность может создавать неудобства, особенно при решении задач, где требуется однозначный ответ.​

Для решения этой проблемы в математике было введено понятие арифметического квадратного корня.​

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a – это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Обратите внимание на два важных момента в этом определении⁚

1. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.​ Это означает, что он может быть равен нулю или положительному числу, но никогда не будет отрицательным.​
2. Арифметический квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа.​ Мы не рассматриваем арифметический квадратный корень из отрицательных чисел в рамках действительных чисел.​

Для обозначения арифметического квадратного корня используется тот же символ радикала (√), что и для обычного квадратного корня.​

Примеры⁚

• √9 = 3 (арифметический квадратный корень из 9 равен 3٫ а не -3)
• √16 = 4 (арифметический квадратный корень из 16 равен 4, а не -4)
• √0 = 0 (арифметический квадратный корень из 0 равен 0)

Использование арифметического квадратного корня позволяет избежать двусмысленности и получать однозначные результаты при решении задач.​

Свойства квадратного корня

Квадратные корни, как математическая операция, подчиняются определенным закономерностям.​ Знание этих свойств позволяет упростить решение задач и выполнять преобразования выражений с корнями.​

Корень произведения и частного

В этом разделе мы рассмотрим два важных свойства квадратных корней, которые позволяют упрощать выражения, содержащие корни из произведений и частных⁚

1. Корень произведения равен произведению корней⁚

   

   Для любых неотрицательных чисел a и b верно следующее равенство⁚
   
   √(a * b) = √a * √b
   
   Это свойство утверждает, что для того, чтобы найти квадратный корень из произведения двух чисел, можно найти квадратные корни из каждого числа по отдельности, а затем перемножить полученные результаты.​
   
   Например⁚
   
   √(16 * 9) = √16 * √9 = 4 * 3 = 12

2. Корень частного равен частному корней⁚
   
   Для любых неотрицательных чисел a (a ≠ 0) и b верно следующее равенство⁚
   
   √(a / b) = √a / √b
   
   Это свойство утверждает, что для того, чтобы найти квадратный корень из частного двух чисел, можно найти квадратные корни из делимого и делителя по отдельности, а затем разделить полученные результаты.​
   
   Например⁚
   
   √(144 / 16) = √144 / √16 = 12 / 4 = 3

Эти свойства часто используються для упрощения выражений с квадратными корнями.​ Например, рассмотрим выражение √75.​ Число 75 не является полным квадратом, но его можно представить как произведение 25 и 3, где 25 – полный квадрат⁚

√75 = √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3

Таким образом, мы упростили выражение √75 до 5√3, используя свойство корня произведения.

Важно помнить, что эти свойства справедливы только для арифметических квадратных корней, то есть для неотрицательных корней из неотрицательных чисел.

Корень из квадрата и квадрат корня

В этом разделе мы рассмотрим два важных свойства квадратных корней, которые связаны с операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня⁚

1. Корень из квадрата числа равен модулю этого числа⁚
   
   Для любого числа a верно следующее равенство⁚
   
   √(a²) = |a|
   
   Это свойство утверждает, что извлечение квадратного корня из квадрата числа даёт модуль этого числа.​
   
   Например⁚
   
   √(5²) = √25 = 5 = |5|
   
   √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|
   
   Важно отметить, что в данном случае мы получаем именно модуль числа, а не само число.​ Это связано с тем, что квадрат как положительного, так и отрицательного числа даёт положительный результат, а арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.​
2. Квадрат корня из неотрицательного числа равен этому числу⁚
   
   Для любого неотрицательного числа a верно следующее равенство⁚
   
   (√a)² = a
   
   Это свойство утверждает, что возведение арифметического квадратного корня из числа в квадрат даёт само это число.​
   
   Например⁚
   
   (√9)² = 3² = 9

Эти два свойства, по сути, отражают взаимообратность операций извлечения квадратного корня и возведения в квадрат. Важно помнить, что первое свойство справедливо для любых чисел, а второе – только для неотрицательных чисел, поскольку мы рассматриваем арифметический квадратный корень.​

Понимание этих свойств помогает упрощать выражения и решать уравнения, содержащие квадратные корни.​

Вынесение множителя из-под знака корня

Вынесение множителя из-под знака корня – это преобразование, которое позволяет упростить выражения, содержащие квадратные корни, и представить их в более удобном виде.​ Данное преобразование основано на свойстве корня произведения, которое мы рассмотрели ранее⁚ √(a * b) = √a * √b, где a и b – неотрицательные числа.​

1. Разложите подкоренное выражение на множители, один из которых является полным квадратом.​ Полный квадрат – это число, которое можно представить как квадрат некоторого целого числа (например, 4, 9, 16, 25 и т.​д.​).
2. Примените свойство корня произведения.​ Запишите корень из произведения как произведение корней из каждого множителя.​
3. Извлеките корень из полного квадрата.​ Замените корень из полного квадрата соответствующим целым числом.​

1. √50
   
   Разложим 50 на множители, один из которых является полным квадратом⁚ 50 = 25 * 2
   
   Применим свойство корня произведения⁚ √50 = √(25 * 2) = √25 * √2
   
   Извлечем корень из полного квадрата⁚ √25 * √2 = 5√2
   
   Таким образом, √50 = 5√2
2. √48
   
   Разложим 48 на множители, один из которых является полным квадратом⁚ 48 = 16 * 3
   
   Применим свойство корня произведения⁚ √48 = √(16 * 3) = √16 * √3
   
   Извлечем корень из полного квадрата⁚ √16 * √3 = 4√3
   
   Таким образом, √48 = 4√3

Вынесение множителя из-под знака корня позволяет упростить выражения и привести их к виду, удобному для дальнейших вычислений или сравнений.​